为什么小学初中学的样本方差分母是 n，可到了大学学管理统计学的时候方差分母却是 n-1 呢？ 匡世珉，INTP 本来把这个问题重定向到为什么样本方差（sample variance）的分母是 n-1？ - 数学这里的，但后来觉得这两个问题还是不太一样。 这个问题的关键在于，小学和初中学的并不是样本方差，而是总体方差。 总体方差的分母是 N，样本方差的分母是 (n-1). 举个例子：假如我现在得到了学校里某一个班级中每位同学的身高数值。 如果我想研究的是这个班级里同学的身高的方差，此时这个班级的同学作为总体，那么分母是 N. 如果我想研究的是这所学校里同学的身高的方差，此时这个班级的同学作为样本，那么分母是 (n-1). 以下是细致一点的回答 首先定义一下： 总体是在一个特定研究中所有感兴趣的个体的集合。描述总体的特性被称为参数。 样本是从一个总体中选择出来的个体的集合，通常在研究中被期望代表总体。描述样本的特性被称为统计量。 总体方差的公式是 ，其中 为总体平均数。 这个公式是在说什么呢？就是把每一个数据与总体平均数的差的平方加起来，再除以数据的个数。也就是说，这个公式算的是离差的平方的平均数。额，离差就是数据与平均数的差啦。 为什么要平方？因为我们要衡量的是离散程度（变异性），正方向偏离与负方向偏离都是偏离，不平方的话就抵消掉啦！ 那为什么一定要是平方而不能是绝对值呢？看为什么用标准差而不是平均差来反映数据的离散程度？这里。 但方差对于变异性的测量基于距离的平方之上，所以我们定义标准差为： . 目前为止应该没什么问题，跟初中数学书上讲的都差不多…… 当我们从总体中选取样本的时候，情况就不太一样了。 这时候我们做的事情是推理统计，即使用从有限的样本中得到的信息作出关于总体的一般结论。此时我们必须用样本统计量来估计总体参数。（记不得这两个词就看一下开头的定义……） 这个过程的基本假设是这个样本能够代表它所在的总体！ 然而，样本的变化总是小于总体的变化，如下图： 又因为离差越大的数据对方差影响就越大（因为平方嘛）而样本变异性小于总体变异性，这就意味着如果我们按照计算总体方差的方法来计算样本方差，得到的统计量就会偏小！ 如果一个样本统计量对相应总体参数的估计过高或者过低，那么这个样本统计量就被称为有偏误的统计量。 所以，这样算出来的样本方差是有偏误的： ，其中 是样本平均数。 为了校正这个偏误，我们必须对样本方差的计算方法进行调整。 问题来了，要调整到什么样子才能被称为没有偏误呢？ 设想，我们从总体里取出一个大小为 n 的样本，计算方差。这个方差往往跟总体方差不一样，对吧？ 我们再取一个大小为 n 的不同的样本，计算方差。这次的结果往往又会跟上次不一样，对吧？ 如果我们把总体中所有可能取出的大小为 n 的样本的方差都算出来，然后计算出它们的平均数，这个平均数就被称为是样本方差的期望，记为 . 当样本方差的期望 等于总体期望 时，这个方差就是无偏的。 更一般地说，如果样本统计量的期望等于相应的总体参数值，那么这个样本统计量就是无偏的。 调整之后的样本方差公式为： ，其中 是样本平均数。 我比较懒，就直接用书上的例子了： 一个 N=6 的总体：， 可以得出总体平均数 ，方差 . 接下来，我们从这个总体里选出所有的 n=2 的样本，然后计算出每个样本的平均数和方差。计算方差的时候，我们用调整前和调整后的公式分别计算： 我们先来看样本平均数这一列。没有一个样本平均数等于总体平均数 ，但是所有样本平均数的平均数（即样本平均数的期望）为 ，所以这是一个无偏的统计量。 再来看用除以 n 得到的样本方差这一列。它们的平均数为 ，而总体方差是 ，所以这是一个有偏的统计量。 最后来看除以 (n-1) 得到的样本方差这一列。尽管没有任何一个样本的方差恰好等于总体方差 ，但它们的平均数为 ，所以这是一个无偏的统计量。 至于为什么调整成除以 (n-1)，这就是一个数学问题啦，具体的推导过程请看这个回答。 所以，回到题主的问题：分母不同是什么原因呢？ 因为一个是总体方差，一个是样本方差，它们是不同的东西呀╮(╯▽╰)╭ 这篇回答献给那个正在学统计的小朋友=w= 那么就这样=w= 图片来源与参考资料： Frederick J. Gravetter, Larry B. Wallnau．《行为科学统计（第七版）》．中国轻工业出版社 查看知乎原文
